Здравствуйте, Андрей.
Для подачи иска в суд о нарушении сроков регистрации и сроков направления ответа на обращение в государственном органе, Вам потребуется собрать такие доказательства, как:
1. Копии обращений, которые Вы направляли в государственный орган.
2. Подтверждение отправки этих обращений (квитанции, уведомления о доставке, если подавали через электронную форму, то на эл. почту должно было прийти письмо с уведомлением о регистрации обращения)
3. Документы, подтверждающие факт нарушения сроков (письмо с указанием даты получения Вашего обращения и даты ответа).
Что касается выбора суда для подачи иска, то в зависимости от характера Вашего дела, Вы можете обратиться в суд общей юрисдикции, арбитражный суд или третейский суд. Если дело имеет отношение к административным правоотношениям, то иск может быть подан в арбитражный суд.
Федеральный закон от 02.05.2006 № 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации» устанавливает срок рассмотрения обращений — 30 дней.
Обращаю Ваше внимание на недопустимость злоупотребления правом на обращение в государственные органы и возможность привлечения к установленной законом ответственности в этой сфере общественных отношений. В случае указания в обращении заведомо ложных сведений расходы, понесенные в связи с его рассмотрением, могут быть взысканы с заявителя (ст. 16 Федерального закона № 59-ФЗ).
Да, соглашусь с Иваном, что можно написать заявление в прокуратуру. Так как сроки рассмотрения дел в судах варьируются.