Являюсь виновником ДТП, но на момент ДТП полис ОСАГО был просрочен, вторая сторона изначально согласилась договариваться, а сейчас тянет время, отказывается от моего добровольного возмещения

полагаю, чтобы обратиться в суд и взыскать больше

Он не лишен такой возможности.

Основанием для добровольного возмещения ущерба является заключение соглашение о возмещении ущерба на основании ст. 408 ГК РФ, которым были бы определены сроки и размер возмещения вреда.

В случае, если такого соглашения не заключалось, то по смыслу ст. 11 ГК РФ у него есть право на обращение в суд

1. Защиту нарушенных или оспоренных гражданских прав осуществляет суд, арбитражный суд или третейский суд (далее — суд) в соответствии с их компетенцией.

Где, исходя из ст. 1064 ГК РФ вправе требовать возмещения с Вас полной стоимости ущерба.

Выбор способов защиты своего права принадлежит потерпевшему.

В связи с чем он может самостоятельно принять решение о том обращаться ему в суд или нет.

И в отсутствие у Вас письменных договоренностей — нет оснований говорить о злоупотреблении правом с его стороны.

По общему правилу пункта 5 статьи 10 ГК РФ добросовестность участников гражданских правоотношений и разумность их действий предполагаются, пока не доказано иное.

Доказать, что он действует недобросовестно, уклоняясь от возмещения ущерба — является Вашей обязанностью.

И на все Ваши притязания он укажет, что предлагаемая Вами сумма ущерба, существенно ниже стоимости ремонта.

Если он обратиться в суд и Вы не согласны с суммой ущерба — Вы вправе ее оспорить.

Как разъяснено в Постановление Пленума Верховного Суда РФ от 23.06.2015 N 25
«О применении судами некоторых положений раздела I части первой Гражданского кодекса Российской Федерации»

Размер подлежащих возмещению убытков должен быть установлен с разумной степенью достоверности. По смыслу пункта 1 статьи 15 ГК РФ в удовлетворении требования о возмещении убытков не может быть отказано только на том основании, что их точный размер невозможно установить.
Размер подлежащего выплате возмещения может быть уменьшен, если ответчикомбудет доказано или из обстоятельств дела следует с очевидностью, что существует иной более разумный и распространенный в обороте способ исправления таких повреждений подобного имущества.

полис ОСАГО был просрочен,

 У Вас истек годичный срок действия договора?

Или ОСАГО было заключено на меньший период?

. полагаю, чтобы обратиться в суд и взыскать больше

Больше за счет чего?

Вы о сумме договаривались?