Как восстановить ее права на часть квартиры?

Вы хотели отказаться от наследства какой именно квартиры? 

Квартира, в которой был зарегистрирован ваш отец на день смерти, не принадлежала ему как собственнику? Верно? Это квартира муниципальная?

Если муниципальная квартира, то она не наследственное имущество.

Так как вы 

в 2008 году уже с ним хотели приватизировать квартиру, написали заявление, но не заключили договор, заявления не отозвали

 то вам действительно нужно обратиться в суд с иском о признании права на квартиру

Мария, добрый день.

Но при начале процесса приватизации всплыло то, что мы в 2008 году уже с ним хотели приватизировать квартиру, написали заявление, но не заключили договор, заявления не отозвали (дочь на тот момент еще не родилась). Теперь приватизация возможна только через суд.

 Как вариант — да.

Как разъяснено в Постановлении Пленума Верховного Суда РФ от 24.08.1993 N 8 «О некоторых вопросах применения судами Закона Российской Федерации „О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации“

если гражданин, подавший заявление о приватизации и необходимые для этого документы, умер до оформления договора на передачу жилого помещения в собственность или до государственной регистрации права собственности, то в случае возникновения спора по поводу включения этого жилого помещения или его части в наследственную массу необходимо иметь в виду, что указанное обстоятельство само по себе не может служить основанием к отказу в удовлетворении требования наследника, если наследодатель, выразив при жизни волю на приватизацию занимаемого жилого помещения, не отозвал свое заявление, поскольку по не зависящим от него причинам был лишен возможности соблюсти все правила оформления документов на приватизацию, в которой ему не могло быть отказано.

Вы указываете, что отказались от наследства. В силу ст.1157 ГК РФ отказ от наследства не может быть отозван или взят обратно. Очевидных причин для признания отказа недействительной сделкой оснований не усматривается, хотя и стоит его видеть наглядно и понимать, при каких обстоятельствах он совершался, соблюдены ли правила его совершения.

если я отказалась от наследства просто так, не а пользу кого-то, то кто теперь по суду будет его наследником, моя дочь?

 Нет. Ваша дочь приходится наследодателю внучкой. А внуки при наследовании по закону наследуют только по праву представления (см. п.2 ст.1142, п.1 ст.1146 ГК РФ), т.е. только в том случае, если на дату смерти наследодателя нет в живых родителя, через которого внук приходится внуком.

еще из родни у него двоюродные братья и сестры.

 Двоюродные братья и сестры являются наследниками по закону третьей очереди по праву представления, наследуют только тогда, если нет в живых их родителей, являющихся дядей или тетей наследодателю (см. ст.1144 ГК РФ).

При этом важно понимать, сколько времени прошло с даты открытия наследства. В соответствии со ст.1154 ГК РФ

2. Если право наследования возникает для других лиц вследствие отказа наследника от наследства или отстранения наследника по основаниям, установленным статьей 1117 настоящего Кодекса, такие лица могут принять наследство в течение шести месяцев со дня возникновения у них права наследования.

А право наследования у них возникло после Вашего отказа. Если 6 месяцев с тех истекли, то их требования о включении квартиры в состав наследства суд удовлетворит только в том случае, если одновременно будут заявлены требования и о восстановлении срока для принятия, либо они докажут, что приняли наследство фактическими действиями (п.2 ст.1153 ГК РФ, п.36 Постановления Пленума Верховного суда РФ №9 от 29.05.2012 О судебной практике по делам о наследовании), например взяли себе на память какие-либо вещи Вашего отца. И далее уже отдельный вопрос о включении в состав наследства недоприватизированной доли отца в квартире.