Существуют и в наше время методические дни?

Здравствуйте, Гарина!

Существуют в качестве рекомендации и не называются методическими. Приказ Минобрнауки России от 11.05.2016 N 536 «Об утверждении Особенностей режима рабочего времени и времени отдыха педагогических и иных работников организаций, осуществляющих образовательную деятельность»:

2.4. В дни недели (периоды времени, в течение которых функционирует организация), свободные для работников, ведущих преподавательскую работу, от проведения занятий по расписанию и выполнения непосредственно в организации иных должностных обязанностей, предусмотренных квалификационными характеристиками по занимаемой должности, а также от выполнения дополнительных видов работ за дополнительную оплату, обязательное присутствие в организации не требуется.

При составлении расписаний занятий, планов и графиков работ правилами внутреннего трудового распорядка и (или) коллективным договором рекомендуется предусматривать для указанных работников свободный день с целью использования его для дополнительного профессионального образования, самообразования, подготовки к занятиям.

Обратите, пожалуйста, внимание: Ваш вопрос размещен в категории бесплатных, т.е. не предполагает обширной и подробной консультации, ответов на дополнительные вопросы. 

В таких вопросах не предоставляется услуга изучения документов — это отдельная платная опция в платных вопросах.

Вы можете обратиться ко мне за помощью в рамках индивидуальной платной консультации в чате (цены доступные).