Сейчас отец хочет установить отцовство и после получения свидетельства об установлении отцовства сменить ребенку фамилию и отчество

Здравствуйте! Да, это возможно. Тут два варианта: либо через суд, если Вы как мать против его отцовства и путем обращения в ЗАГС — подача совместного заявления, если Вы не против признать мужчину отцом ребенка.

СК РФ Статья 48. Установление происхождения ребенка

3. Отцовство лица, не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган записи актов гражданского состояния совместного заявления отцом и матерью ребенка;

После фактического установления отцовства — можно изменить фамилию ребенка на основании 

СК РФ Статья 59. Изменение имени и фамилии ребенка

1. По совместной просьбе родителей до достижения ребенком возраста четырнадцати лет орган опеки и попечительства исходя из интересов ребенка вправе разрешить изменить имя ребенку, а также изменить присвоенную ему фамилию на фамилию другого родителя.

Здравствуйте,

Вы не указали вашу позицию. Если вы против изменения фамилии ребёнка, изменить фамилию можно через суд.  Отчество будет изменено в любом случае. Шансы на удачный исход дела близки к нулю, если вы против изменения фамилии. На месте отца, я бы сразу заявлял требования об установлении отцовства и изменении имени ребёнка, но по перспективе я уже ответил.

Если вы не против изменения фамилии и установления отцовства, все можно сделать одновременно, в заявлении  об установлении отцовства, которое подается в ЗАГС, есть разделы относительно имени и фамилии ребёнка. 

С уважением Андрей Козырев