Имею ли я право на долю умершей бабушки и какие права дает моя 1/3 квартиры

Наследниками по закону первой очереди после бабушки являются переживший супруг, родители и дети ( при наличии таковых) . 

Напрямую внуки получают наследство без завещания только в том случае, если их родители уже умерли. То есть, по праву представления. Причем, по праву представления наследник имеет право не на равную с остальными представителями долю, а на ту долю, которая принадлежала бы прямому наследнику.

Права внуков на наследство устанавливаются в случае, если они являются несовершеннолетними, при жизни завещателя состояли на его иждивении (получали от него средства к существованию или помощь, которая являлась основным либо постоянным источником дохода) и проживали вместе с ним не менее одного года.

Вам необходимо узнать где открыто наследственное дело. Чтобы узнать, какой нотариус открыл наследство, воспользуйтесь сервисом Федеральной нотариальной палаты. Для этого введите в форму ФИО наследодателя, дату его рождения и дату смерти.

Обратитесь к нотариусу и узнайте не было ли завещания у бабушки. Если завещания в вашу пользу нет, а мама ваша жива и она дочь бабушки, то вы не являетесь наследником первой очереди.