Как нам доказать, что у нее единственный ребенок

Здравствуйте, Инга!

Действительно  выдача справок о составе семьи, равно как и выписок из домовых   книг, в настоящее время действующим законодательством не регламентирована

Но  выдача гражданам справок о составе семьи прямо не исключена из компетенции органов местного самоуправления, что  позволяет им самостоятельно  решить вопрос об отнесении выдачи таких справок к собственным полномочиям.

Вами был  указан    г. Москва.

На  официальном  сайте мэрии,  которого предусмотрена выдача справок о составе  семьи.

Более подробно по ссылке https://www.mos.ru/otvet-dom-i-dvor/kak-oformit-dokumenty-zhilischnogo-ucheta/

Если речь идет о другом регионе, нужно смотреть акты органов местного самоуправления по наличию компетенции о выдаче справок о составе семьи.

Здравствуйте, если непосредственно справку о составе семьи Вам не выдаёт ЗАГС (очевидно Вы все вопросы с ЗАГС устно выясняли),  запросите официально письменно в органах ЗАГС сведения из реестра ЗАГС о количестве у Вас детей, все акты о рождении регистрируются в ЗАГС, как Вы, наверное, знаете. Сведения эти предоставляются органами ЗАГС на основании Правил предоставления сведений о государственной регистрации актов гражданского состояния, содержащихся в Едином государственном реестре записей актов гражданского состояния, и признании утратившими силу некоторых актов Правительства Российской Федерации, утв. Постановлением Правительства РФ от 29.12.2018 N 1746 – п. 37 данных Правил – 

Сведения о государственной регистрации актов гражданского состояния предоставляются физическому лицу на основании запроса физического лица о предоставлении сведений о государственной регистрации актов гражданского состояния (далее — запрос физического лица о предоставлении сведений).
В том числе в этом порядке предоставляется сведения о   о количестве родившихся детей, иные сведения, указанные в приложении к данным правилам.

www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_315334/74767bdd4a4ca5e9ca6e00f6769b280f83d521cd/

Просмотрите по данным правилам, что ещё может Вам пригодиться и официально уже направьте запрос в предоставлении сведений. Либо под расписку работнику ЗАГС либо заказным письмом с уведомление о вручении и описью вложения.  Дальше уже в зависимости от того, что предоставит Вам ЗАГС – если откажет в предоставлении таких сведений – обжаловать можно в суд действия, можно в досудебном порядке, в общем-то всё по порядку действий ЗАГСа — в Административном регламенте предоставления государственной услуги по государственной регистрации актов гражданского состояния органами, осуществляющими государственную регистрацию актов гражданского состояния на территории Российской Федерации, утв. Приказом Минюста России от 28.12.2018 N 307. 
Смотреть уже нужно какого рода справку ЗАГС по содержанию предоставит, если будут какие-то сведения о детях – предоставьте данную справку в Японию, официально, получите отказ, если их такая справка не устроит. Далее уже можно пробовать обратиться в суд с заявлением об установлении фактов юридическое значение с этим японским отказом по ст. 264 ГПК РФ – 

Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций. Судебное решение уже должно устроить Японию.

Это всё — общий алгоритм, а так – в зависимости от результатов каждого действия возможно изменять как-то тактику поведения в юридическом плане, поэтому сказать прямо сейчас всё точно – затруднительно, сам процесс нужно начать, потом ясно станет, с ЗАГСа начать.