Добрый вечер! Если согласно документам он является отцом ребенка, то у него в силу СК РФ есть право на общение с ребенком. Однако реализация этого права не должна нарушать права и интересы ребенка. Иными словами Вы вправе отказать ему в просьбе взять шестимесячного ребенка в другой город. Если он с этим не согласен, может подавать в суд иск об определении порядка общения с ребенком. Аналогично поступайте и с местом жительства ребенка — данный вопрос при наличии спора решается в судебном порядке. Пусть, если хочет, чтобы ребенок проживал с ним, подает об этом исковое заявление. Наперед Вам скажу, что суды обычно предпочитают оставлять таких маленьких деток с матерями.
Лишение водительских прав не свидетельствует об алкоголизме, но говорит о безответственности и иных негативных человеческих качествах. Поэтому данный аргумент может быть Вами использован при возникновении спора о порядке общения и месте проживания ребенка. Можете также задуматься о взыскании с него алиментов (на себя до трехлетия ребенка и на самого ребенка).