Ольга, добрый день.
Исходя из требований ст. 203 ГПК РФ заявлениеподается в суд, рассмотревший дело.
Основанием для принятия решения о рассрочке, являются имущественное положение или другие обстоятельства, в силу которых Вы не можете исполнить решение суда.
Как разъяснено в постановление Пленума Верховного Суда РФ от 26.06.2008 N 13 «О применении норм Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации при рассмотрении и разрешении дел в суде первой инстанции»
При рассмотрении указанных заявлений с учетом необходимости своевременного и полного исполнения решения или приговора в части имущественного взыскания суду в каждом случае следует тщательно оценивать доказательства, представленные в обоснование просьбы об отсрочке (рассрочке), и материалы исполнительного производства, если исполнительный документ был предъявлен к исполнению.
Таким образом, подачи одного заявления для принятия решения недостаточно, необходимо предоставить доказательства на которых основывается поданное Вами заявление.
Как следует из «Обзора судебной практики Верховного Суда Российской Федерации N 1 (2018)» (утв. Президиумом Верховного Суда РФ 28.03.2018) суд, рассматривающий заявление об отсрочке исполнения решения, в каждом конкретном случае должен принимать во внимание все обстоятельства, препятствующие исполнению принятого решения.
С учетом сказанного заявление об отсрочке исполнения решения суда, подается после вступления решения в законную силу.
В суд конечно подается заявление о рассрочке исполнения решения суда.
Чтобы приостановить исполнительное производство в этом случае подается соответствующее ходатайство суду.