Могу ли я пойти добровольцем водителем, если не служил срочную службу

Вы можете поступить на военную службу по контракту или записаться в добровольческий отряд для участия в специальной военной операции. Для этого вы можете прийти в военкомат по месту пребывания и заявить о готовности заключить контракт о прохождении военной службы или вступить в добровольческий отряд. Выбрать удобный для посещения военкомат и записаться можно с помощью сервиса «Госуслуги». 

Водители с водительским удостоверением на право управления транспортными средствами категории «С» востребованы в зоне проведения СВО. Рекомендуем вам обратиться в военкомат по месту пребывания и изъявить желание принять участие в СВО. Вы можете быть мобилизованы (если соответствуете требуемым критериям) или записаться в отряд добровольцев для участия в СВО.

Более подробно здесь: https://www.donland.ru/faq/898/

Таким образом, да, Вы можете.