Если я оставлю завещание на квартиру в пользу не родного человека или например государства, могут ли двоюродные или троюродные родственники оспорить?

Только если будут доказывать через психиатрическую экспертизу, которая проводится по вашим медицинским документам,  что вы не понимали что подписывали. 

Статья 177. Недействительность сделки, совершенной гражданином, не способным понимать значение своих действий или руководить ими

1. Сделка, совершенная гражданином, хотя и дееспособным, но находившимся в момент ее совершения в таком состоянии, когда он не был способен понимать значение своих действий или руководить ими, может быть признана судом недействительной по иску этого гражданина либо иных лиц, чьи права или охраняемые законом интересы нарушены в результате ее совершения.

Здравствуйте!

Оспорить завещание в суде могут только те лица, чье право составлением завещания было нарушено. Нарушенным право будет тогда, когда при отсутствии завещания указанные родственники должны были наследовать, то есть других наследников предыдущих очередей нет.

Здравствуйте, да могут, если данным завещанием  нарушены какие-то их права. Согласно ст. 1131 ГК РФ

Завещание может быть признано судом недействительным по иску лица, права или законные интересы которого нарушены этим завещанием.

При этом, если завещание будет недействительным будут применяться правила о наследовании по закону. В числе возможных наследников могут рассматриваться двоюродные братья и сестры наследодателя — по праву представления, в качестве наследников пятой очереди родственники четвертой степени родства — дети родных племянников и племянниц наследодателя (двоюродные внуки и внучки) и родные братья и сестры его дедушек и бабушек (двоюродные дедушки и бабушки), в качестве наследников шестой очереди родственники пятой степени родства — дети двоюродных внуков и внучек наследодателя (двоюродные правнуки и правнучки), дети его двоюродных братьев и сестер (двоюродные племянники и племянницы) и дети его двоюродных дедушек и бабушек (двоюродные дяди и тети).