Вопрос: возможно ли Ж, не имеющей иного жилья, остаться жить в этой квартире, например, по иску к администрации о предоставлении ее в найм или иными методами?

Здравствуйте, Дмитрий!

Единственно возможный вариант, как мне представляется, это если Ж достигла возраста 55 лет (или является инвалидом) и можно доказать, что она находилась на иждивении у М. Тогда ее можно попробовать признать наследницей (наравне с другими наследниками, если объявятся, или единственной).

См., например:

Определение Судебной коллегии по гражданским делам Верховного Суда Российской Федерации от 28.07.2020 N 5-КГ20-66-К2

Требование: Об установлении факта нахождения на иждивении, признании права собственности на квартиру в порядке наследования.

Обстоятельства: Истица указывает, что состояла в фактических брачных отношениях и вела общее хозяйство с третьим лицом до дня его смерти, при этом находилась на полном материальном обеспечении третьего лица, являвшегося собственником квартиры. Встречное требование: О признании права собственности на квартиру, выселении. Решение: Дело направлено на новое рассмотрение, поскольку судами не установлено, являлась ли материальная помощь, получаемая истицей от третьего лица, постоянным и основным источником средств к существованию истицы, а также не определен характер такой помощи (постоянный, дополнительный). 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).