У меня вопрос, в какой суд можно на них подать чтобы ускорить процесс выдачи жилья?

Здравствуйте, Анзор!

Если уже имеется решение суда о предоставлении вам жилья, то нужно добиваться его принудительного исполнения судебными приставами, если затягивают это дело, можете обратиться в прокуратуру района.

В соответствии со статьёй 8 Федерального закона от 21 декабря 1996 г. N 159-ФЗ«О дополнительных гарантиях по социальной поддержке детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей» детям-сиротам,  которые не имеют жилья по договору социального найма, а также не являются собственниками жилых помещений, т.е. не обеспечены жильём, а также детям-сиротам, которые обеспечены жильём  в случае, если их проживание в  данных жилых помещениях признается невозможным,  однократно предоставляются благоустроенные жилые помещения специализированного жилищного фонда по договорам найма специализированных жилых помещений.

Жилые помещения предоставляются указанным лицам,  по достижении ими возраста 18 лет, а также в случае приобретения ими полной дееспособности до достижения совершеннолетия. 

  Таким образом по достижению 18 лет вас должны обеспечить жильём, можете обратиться в суд, что обязать администрацию предоставить вам жильё.