Авансировать расходы придётся вам, как истцу. В случае удовлетворения исковых требований, Ваши расходы взыскиваются с ответчика, при условии отражения данного требования в исковом заявлении. Необходимо будет предоставить доказательства близких отношений, а также провести генетическую экспертизу, на что понадобиться определенное время, в зависимости от занятости эксперта и его возможностей, так что определиться со временем в данный момент нельзя. Согласно ст. 154 ГПК РФ . Гражданские дела рассматриваются и разрешаются судом до истечения двух месяцев со дня поступления заявления в суд, если иные сроки рассмотрения и разрешения дел не установлены настоящим Кодексом..., но в Вашем случае производство будет приостанавливаться на срок необходимый для производства экспертизы.