Институт отвечает, что нужно оплатить орг взнос, про который в договоре ничего не сказано

Здравствуйте! Если договором не предусмотрена оплата организационного взноса, то обязанности у Вас не возникает. В любом случае нужно смотреть Ваш договор, чтобы точно ответить. 

Если Вам нужна подробная консультация Вы можете написать мне в чат.
Хорошего дня!

При расторжении договора услуг следует руководствоваться условиями заключенного договора.

По возмездному договору услуг, к которому относится и договор на платное обучение, Заказчик в соответствии с п. 1 ст. 782 ГК РФ, а также ст. 32 Закона РФ «О защите прав потребителей» имеет право в любое время в одностороннем внесудебном порядке отказаться от исполнения договора, оплатив Исполнителю фактически оказанные на дату отказа от договора услуги.

О своем отказе от договора Исполнителю следует направить соответствующее письменное уведомление.