Сожительница после расхождения написала заявление в полицию о том, что я украл у нее щиток с автоматами

взыскать за моральный ущерб?

В случае возбуждения уголовного дела и признания вас потерпевшим(ст.42 УПК РФ) вы имеете право заявить о причинении нравственных страданий и ходатайствовать перед следователем о признании вас гражданским истцом — ст.44 УПК РФ.

Есть сообщения в ватсапе о том, что она знала что щиток принадлежит мне и она с этим согласна, но не взирая на это написала заявление.

Тогда шансы на возбуждение дела имеются. Вас уже опрашивали?

Дополню.

Однако, я не вижу перспектив возбуждения уголовного дела по ст. 306 УК РФ (заведомо ложный донос о совенршении преступления), в данной ситуации.

1) Бывшая сожительница может выдвинут версию о том, что часть денег на этот щиток и автоматы предоставлены ее (ее личные средства), а покупали — Вы, потому и чек ККМ у Вас находится. Как версия.

2) Или скажет, что забыла, что это — Ваша собственность, так как, когда — то покупала похожий.

То есть, такой конструктивный  (обязательный для квалификации) признак объективной стороны преступления, как «заведомость» убрать ей  будет несложно, в связи  с чем состава указанного преступления — не будет.

взыскать за моральный ущерб?

 Это Вам нужно — не в полицию, а в гражданский суд, с иском обращаться.

О денежной компенсации морального вреда в уголовном деле может заявить только  гражданский истец, после возбуждения уголовного дела, в рамках статьи 44 УПК РФ,

УПК РФ Статья 44. Гражданский истец
 

 
1.… Гражданский истец может предъявить гражданский иск и для имущественной компенсации морального вреда.

Но, уголовное дело еще не возбуждено и шансы на это — ничтожно малы.