Возможно ли оформить аренду в этом случае без выноса вопроса на торги?

Вариант с оформлением вначале права собственности на строение, а затем на землю на этом основании — существует.

Часть 1 статьи 39.20 Земельного кодекса РФ:

Если иное не установлено настоящей статьей или другим федеральным законом, исключительное право на приобретение земельных участков в собственность или в аренду имеют граждане, юридические лица, являющиеся собственниками зданий, сооружений, расположенных на таких земельных участках.

Проблема в вашем случае будет в том, что именно оформить право собственности на дом будет затруднительно. Дачная амнистия у вас не сработает, для нее нужно иметь оформленное право на землю.

В судебном процессе признать право собственности на постройку? Нужно доказать, что

когда-то она была построена законно, но право собственности не оформлено,

или что это самовольная постройка, но у вас было право на земельный участок на момент строительства, и строительные нормы не нарушены, и ничьи права этой постройкой тоже не нарушаются,

или право возникло по приобретательной давности — но тогда изначально этот дом должен быть построен не вами, законно, а уже вы полагая его своим, владели как своим в течение установленного срока, на построенные именно вами дома такой порядок не распространяется.

Пока сложно сказать, применим ли к вам какой-то вариант. Нужно исследовать — какие права были у прежнего владельца участка, какой именно «распиской» он вам их передал, когда и как построен дом. Вы пишете про технические документы — какие именно это документы? Вы являлись членом садового кооператива? Оплачивали расходы? Когда вы обращались за оформлением права собственности — вам был дан официальный отказ?