Или только строго после заключения договора вносить уже всю сумму?

Обязанность по уплате арендной платы — это обязанность по договору аренды, и соответственно, она возникает после заключения договора аренды.

Предварительная оплата — это передача всей или части оплаты до получения услуг (в данном случае у вас аренда, значит, до момента окончания оплачиваемого периода).

То есть, правильно — не производить выплату до момента, когда вы заключите договор аренды. Поскольку до этого момента внесенная сумма не является оплатой аренды.

Но на практике, хотя это и неправильно, применяется внесение денег до заключения договора.

В одних случаях это называют предварительной оплатой (авансом), в других случаях — задатком.

Поскольку основного договора еще нет, а требуется хоть какое-нибудь основание для оплаты, то часто заключают «предварительный договор» и в нем указывают про внесение предварительной оплаты (аванса) в счет оплаты по основному договору. Это, кстати, тоже неверно, по гражданскому законодательству так называют соглашение о заключении основного договора на определенных условиях в будущем — и потому «предварительный договор» по сути своей не предполагает внесение платежей.

Для внесения денег до заключения основного договора — в качестве задатка — заключают «соглашение о задатке». Сам по себе «задаток» законом предусмотрен, но опять же применяется он здесь неправильно. Задаток — это платеж в обеспечение исполнения основного денежного обязательства. Если обязательство не исполняется по вине должника — то задаток остается кредитора. Если обязательство не исполняется по вине кредитора — кредитор возвращает должнику задаток в двойной сумме. Если обязательство исполняется, то сумма задатка учитывается в счет его исполнения. Для чего бы в аренде пригодился задаток? У арендатора-должника основное денежное обязательство уплатить арендную плату. Задаток мог бы служить обеспечением этого обязательства. То есть, если бы арендатор нарушил обязанности по  оплате — то именно в связи с этим задаток он бы потерял. Но ведь до заключения основного договора этих обязательств еще нет, обеспечивать еще нечего.

Иногда изобретается более-менее соответствующая закону схема — заключается предварительный договор, в соответствии с которым, в определенный срок стороны должны заключить основной договор. Там же применяется условие об обеспечительном платеже (аналог задатка, но он применяется не только для денежных обязательств), только этот платеж служит обеспечением неденежного обязательства заключить основной договор. Но с другой стороны, чтобы после заключения основного договора этот платеж не возвращать, а он оставался обеспечением уже по основному договору — в тексте предварительного договора указывается трансформация этого обеспечительного платежа по предварительному договору в обеспечительный платеж по основному. В договоре следует указать, к каким именно обязательствам этот платеж будет служить обеспечением, при каких условиях он возвращается, при каких остается в арендодателя.

В целом, вы верно отметили, что требование уплатить арендную плату до заключения договора аренды (а тем более, если безо всякого документального основания) — это закону не соответствует. Договорных обязательств оплаты на этот момент еще не существует, никаких отдельных соглашений,  по поводу этого платежа по всей видимости, вам тоже не предлагают составить.

Получается, что это платеж под устное обещание в будущем заключить с вами договор аренды. Можно было бы рассмотреть вашу договоренность как заключенный в устной форме предварительный договор, но как я указал выше, сам по себе предварительный договор не должен предусматривать предоплату по основному договору.