Жена и муж в разводе, по суду ребёнок проживает с отцом, мать не принимает участия в жизни ребёнка с рождения

В силу ст. ст. 63, 65, 80 Семейного кодекса РФ родители обязаны воспитывать своих детей, содержать их, заботиться об их здоровье, физическом, психическом, духовном и нравственном развитии. Родители несут основную ответственность за воспитание и развитие ребенка. Обеспечение интересов детей должно быть предметом основной заботы родителей.
Согласно ст. 69 СК РФ родители (один из них) могут быть лишены родительских прав, если они: уклоняются от выполнения обязанностей родителей, в том числе при злостном уклонении от уплаты алиментов; отказываются без уважительных причин взять своего ребенка из родильного дома (отделения) либо из иного лечебного учреждения, воспитательного учреждения, учреждения социальной защиты населения или из аналогичных организаций; злоупотребляют своими родительскими правами; жестоко обращаются с детьми, в том числе осуществляют физическое или психическое насилие над ними, покушаются на их половую неприкосновенность; являются больными хроническим алкоголизмом или наркоманией; совершили умышленное преступление против жизни или здоровья своих детей либо против жизни или здоровья супруга.

В Вашем случае нужно обращаться с иском в суд о лишении ее родительских прав. При этом, обязанность по оплате алиментов на ребенка за ней останется.