Фаир, добрый день!
Да, Вы можете обращаться в государственные органы без уплаты государственной пошлины.
По общему правилу регулирование взаимоотношений с государственными и муниципальными органами проводится Федеральным законом «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации» от 02.05.2006 № 59-ФЗ.
Согласно п. 1 ст. 2 Граждане имеют право обращаться лично, а также направлять индивидуальные и коллективные обращения, включая обращения объединений граждан, в том числе юридических лиц, в государственные органы, органы местного самоуправления и их должностным лицам, в государственные и муниципальные учреждения и иные организации, на которые возложено осуществление публично значимых функций, и их должностным лицам.
Обращение может быть реализовано в форме заявления, жалобы, предложения.
Срок ответа на обращения, поступившее в государственный орган, орган местного самоуправления или должностному лицу в соответствии с их компетенцией, рассматривается в течение 30 дней со дня регистрации письменного обращения (п.1 ст. 12 № 59-ФЗ).
Поэтому Вы можете использовать своё законное право и обращаться в государственные органы и к должностным лицам.