Мой муж, гражданин Украины, с пропиской в Луганской области, сейчас находится в России, месяц назад у него

Здравствуйте, Анна!

Я, конечно, не знаю законодательства ЛНР (или Украины, не знаю, какой закон там применяется), но не думаю, что оно кардинально отличается от законодательства РФ в этой части.

Вы указываете, что

квартира была записана на сына (моего мужа),

 поэтому она не входит в наследственную массу умершей матери, а значит, Ваш муж может передать право собственности на квартиру сестре только по сделке — дарения или купли-продажи. 

может ли он как -то из России сделать нотариальную доверенность

 не из России, а в России — может, но если одаряемым или покупателем будет сестра, то она сама не может быть представителем по доверенности и совершить сделку в отношении себя самой, то есть доверенность нужно выдавать на кого-то постороннего (и не близкого родственника сестры, потому что представители по доверенности не могут совершать сделки в отношении своих близких родственников).

Ну и главная проблема- как передать доверенность в ЛНР из РФ, учитывая, что обмен почтовыми отправлениями, транспортное сообщение между территориями РФ и Украины приостановлены. 

Если у Вас еще остались вопросы, Вы можете задать их мне в рамках индивидуальной платной консультации в чате (стоимость и время консультации согласовываются там же).