Добрый день. Ксения, отвечу на ваш вопрос по порядку.
В силу п.1 ст. 61 Семейного кодекса РФ родители имеют равные права и несут равные обязанности в отношении своих детей.
Только проблема (не для вас, а для отца ребенка) в том, что юридически отцом он не является, поэтому прав на ребенка у него нет.
В силу п. 3 ст. 48 Семейного кодекса РФ отцовство лица не состоящего в браке с матерью ребенка, устанавливается путем подачи в орган ЗАГС совместного заявления отцом и матерью ребенка. Поскольку такое заявление не было подано и в свидетельстве о рождении ребенка стоит прочерк, то юридически отцом данный человек для ребенка не является, соответственно у него нет прав родителя в отношении ребенка.
Первоначально ему необходимо будет установить отцовство в судебном порядке в силу ст. 49 Семейного кодекса РФ, а затем определять порядок общения ребенка (ст. 66 Семейного кодекса РФ). До этого момента вы вправе не допускать ребенка до встреч с его биологическим отцом.
Надеюсь Вам помог мой ответ.