Добрый день! Да, должны. Если документы поданы до истечения срока договора аренды, дом должны зарегистрировать.
ч 2 ст 40 218-ФЗ от 13.07.2015 года
Государственный кадастровый учет и (или) государственная регистрация прав на созданные здание, сооружение осуществляются также в случае, если на момент государственного кадастрового учета и (или) государственной регистрации прав на созданные здание, сооружение истек срок действия договора аренды земельного участка, предоставленного для цели строительства указанных объектов недвижимости, или договора безвозмездного пользования таким земельным участком, при этом на момент ввода в эксплуатацию указанных объектов недвижимости срок действия соответствующего договора не истек.
В вашем случае скорее всего нет акта ввода в эксплуатацию, но документы на регистрацию права поданы в момент когда договор аренды еще действовал. В любом случае, регистратор будет принимать решение.