Добрый день.
Регистрироваться в купленной квартире не обязательно.
Право пользования жилым помещением может быть прекращено для указанных лиц в случае их выезда в другое место жительства (Определение Судебной коллегии по гражданским делам Верховного суда РФ от 04.08.2015 N 49-КГ15-7). При этом отсутствие у гражданина, добровольно выехавшего из жилого помещения, регистрации в ином месте жительства не может являться основанием для сохранения за ним права бессрочного пользования квартирой (см., например, Определение Второго кассационного суда общей юрисдикции от 11.06.2020 по делу N 88-13629/2020).
Ключевым моментом является именно добровольный, а не вынужденный (например, из-за конфликтных отношений с собственником) выезд из квартиры. Собственник квартиры вправе в судебном порядке потребовать признания таких лиц утратившими право пользования квартирой в связи с их выездом в другое место жительства. Кроме того, такой выезд должен иметь постоянный, а не временный характер.