Добрый день. Если я правильно поняла ребенок родился в тот период времени, когда вы состояли в браке и естественно согласно статьям 48 и 51 Семейного кодекса РФ он был записан на Вашего супруга. В настоящее время брак между Вами расторгнут и супруг хочет отказаться от отцовства.
Согласно статье 52 Семейного кодекса РФ, если все было так как я описала выше, Ваш бывший муж действительно может в судебном порядке доказать факт того, что он не является отцом ребенка и естественно Вы не сможете обязать его платить алименты.
Вопрос о распределении оплаты экспертизы ДНК будет решаться в суде и совсем не обязательно, что вы должны будете полностью оплатить данные расходы, а вот половину этих расходов суд может определить чтобы оплатили вы.