Муж будет вступать в наследство, перейдут ли эти долги на супруга?

Здравствуйте, Кристина!
По общему правилу, установленному статьей 1112 Гражданского кодекса РФ:  

В состав наследства входят принадлежавшие наследодателю на день открытия наследства вещи, иное имущество, в том числе имущественные права и обязанности.

Но в этой же статье установлено исключение:

Не входят в состав наследства права и обязанности, неразрывно связанные с личностью наследодателя.

Подразумевается, что Вами указанная задолженность неразрывно связанна с личностью наследодателя.  
Вместе с этим в статье 44 Налогового Кодекса РФ установлено, что обязанности по уплате налога прекращаются:

3) со смертью физического лица — налогоплательщика или с объявлением его умершим….

В этой же статье перечисляются, задолженность по каким видам налогов, погашается наследниками в пределах стоимости наследственного имущества:
— транспортный налог.
— земельный налог.
— налог на имущество физических лиц.

Помимо вышесказанного Постановлением Правительства РФ от 17.10.2009   N 820, установлен порядок признания безнадежными к взысканию и списанию недоимки по страховым взносам…… Одним из условий является:

смерть физического лица или решение суда об объявлении его умершим

Суммируя все вышесказанное, можно сказать что уплачивать задолженность по пенсионным и страховым взносам  не придётся. Их просто спишут. Но обязанность по уплате: транспортного налога, земельного налога, налога на имущество физических лиц переходит к наследнику.
 
С Уважением!