Какой орган будет компетентен рассматривать подобное требование?

Здравствуйте, Евгений. 

В вашей ситуации применяется ФЗ от 25.06.2002 № 73-ФЗ «Об объектах культурного наследия (памятниках истории и культуры) народов Российской Федерации», а также Постановление правительства РФ от 23.07.2015 № 740.  В котором указано, что надзор за состоянием и содержанием объектов культурного наследия осуществляется Министерством культуры РФ, территориальными органами, органами исполнительной власти субъектов РФ, уполномоченными структурными подразделениями.  В п. 6 постановления перечислены уполномоченные должностные лица, у которых есть право:

г) привлекать к административной ответственности и принимать меры по предотвращению правонарушений;
д) направлять в уполномоченные органы материалы, связанные с нарушениями обязательных требований, для решения вопросов о возбуждении уголовных дел по признакам преступлений;
е) предъявлять в суд:
иски о понуждении исполнить обязательства в области сохранения, использования, популяризации и государственной охраны объектов культурного наследия в натуре;