Должен ли я записывать их в журнал по ОТ?

Здравствуйте, Андрей!
Согласно ч.1 ст.61 Трудового кодекса РФ Трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим Кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами Российской Федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
Таким образом, фактически вы трудоустроены официально.
К слову если желаете это оформить юридически, то обратитесь в  прокуратуру или инспекцию труда.
И как раз журналы инструктажей по охране труда сыграют вам на руку как дополнительные доказательства.
К слову ведение журнала вам также поможет в случае если что-то с каким-либо работником произойдет. Ведь как я уже сказал выше — вы официально трудоустроены, то есть состоите с работодателем в трудовых отношениях, а значит и несете ответственность за исполнение трудовых обязанностей и всего что из них вытекает.