Могут ли служебную проверку продлить до 60 суток, с целью не реализовать рапорт об увольнении

Здравствуйте Роман, к сожалению Вы не указали где Вы служите, если речь идет о службе в органах внутренних дел то да, могут, руководствуясь положениями ч. 4 ст. 52 Федерального  закона от 30.11.2011 N 342-ФЗ «О службе в органах внутренних дел Российской Федерации и внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации», согласно которой:

Служебная проверка проводится в течение тридцати дней со дня принятия решения о ее проведении. Срок проведения служебной проверки по решению руководителя федерального органа исполнительной власти в сфере внутренних дел или уполномоченного руководителя может быть продлен, но не более чем на тридцать дней. В срок проведения служебной проверки не включаются периоды временной нетрудоспособности сотрудника органов внутренних дел, в отношении которого проводится служебная проверка, нахождения его в отпуске или в командировке, а также время отсутствия сотрудника на службе по иным уважительным причинам.

Поэтому ответ, да могут продлить срок служебной проверки до 60 суток, по решению уполномоченного руководителя ОВД. 

При этом, если Вы не замещаете должность высшего начальствующего состава и не являетесь полковником, проведение служебной проверки, основанием для Вашего не увольнения, являться не может. 

Надеюсь, что мой ответ помог Вам. 
При необходимости связаться со мной Вы можете зайти в мой профиль, а далее кликнув на кнопку «Сообщение юристу» либо «Обратиться к юристу» написать мне личное сообщение.
Рад был помочь.