Могу ли я взыскать эту сумму с продавца?

Здравствуйте.

Если иное не установлено заключенным между Вами договором (при определенных обстоятельствах — и в случае наличия такого условия), то конечно можете, так как это убытки. Внимательно ознакомьтесь с заключенным договором.

В соответствии со статьей 15 Гражданского кодекса 

Лицо, право которого нарушено, может требовать полного возмещения причиненных ему убытков, если законом или договором не предусмотрено возмещение убытков в меньшем размере.

Можете обратиться к продавцу как с претензией, так и сразу обращаться в суд.

Удачи.

Добрый день, Игорь. Вам необходимо подробно ознакомиться с условиями договора, в нем, вероятнее всего имеются ответы на Ваши вопросы. Но обратите, пожалуйста, внимание на тот факт, что при подписания между Вами и продавцом акта приема-передачи квартиры, обязанность по содержанию квартиры возлагается на Вас, как на покупателя. 

Рекомендую Вам обратиться с претензией к Продавцу с требованием о погашении суммы задолженности, образовавшейся до момента подписания договора купли-продажи и акта приема-передачи квартиры.