Добрый день.
С учетом того, что с Абхазией нет соглашения о двойном гражданстве, то здесь стоит принимать во внимание требование ст. 6 ФЗ «О гражданстве РФ»
1. Гражданин Российской Федерации, имеющий также иное гражданство, рассматривается Российской Федерацией только как гражданин Российской Федерации, за исключением случаев, предусмотренных международным договором Российской Федерации или федеральным законом.
Таким образом, с точки зрения законодательства РФ — Вы являетесь только гражданином РФ.
Соответственно на Вас распространяются обязанности установленные для граждан РФ, в числе которых предполагается регистрация по месту жительства в силу ст. 6 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1 «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации»
В этом случае, наличие у Вас регистрации по месту жительства в стране иного гражданства во внимание не принимается и требование о регистрации в РФ является приоритетным — если Вы проживаете на ее территории.
Таким образом, формально Вы можете иметь регистрацию как в РФ, так и в Абхазии.