И какая должна быть моя последовательность действий сейчас?

Здравствуйте!

В отсутствие подписанного договора и актов Вам необходимо будет иным образом доказывать факт оказания услуг и их стоимость. 

Подтвердить факт заключения договора и договоренности сторон можно будет, например, перепиской и получением предоплаты.

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)» от 30.11.1994 N 51-ФЗ (ред. от 08.12.2020)
ГК РФ Статья 160. Письменная форма сделки

1. Сделка в письменной форме должна быть совершена путем составления документа, выражающего ее содержание и подписанного лицом или лицами, совершающими сделку, либо должным образом уполномоченными ими лицами.
Письменная форма сделки считается соблюденной также в случае совершения лицом сделки с помощью электронных либо иных технических средств, позволяющих воспроизвести на материальном носителе в неизменном виде содержание сделки, при этом требование о наличии подписи считается выполненным, если использован любой способ, позволяющий достоверно определить лицо, выразившее волю. 
Двусторонние (многосторонние) сделки могут совершаться способами, установленными пунктами 2 и 3 статьи 434 настоящего Кодекса.

Письменная форма договора также считается соблюденной, если письменное предложение заключить договор принято в порядке, предусмотренном п. 3 ст. 438 ГК РФ.

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть первая)» от 30.11.1994 N 51-ФЗ (ред. от 08.12.2020)

ГК РФ Статья 438. Акцепт

3. Совершение лицом, получившим оферту, в срок, установленный для ее акцепта, действий по выполнению указанных в ней условий договора (отгрузка товаров, предоставление услуг, выполнение работ, уплата соответствующей суммы и т.п.) считается акцептом, если иное не предусмотрено законом, иными правовыми актами или не указано в оферте.

Если сторона приняла от другой стороны полное или частичное исполнение по договору либо иным образом подтвердила действие договора, она не вправе недобросовестно ссылаться на то, что договор является незаключенным (пункт 3 статьи 432 ГК РФ).

Условия договора могут быть определены путем отсылки к примерным условиям договоров (статья 427 ГК РФ) или к условиям, согласованным предварительно в процессе переговоров сторон о заключении договора, либо вытекать из уже сложившейся практики сторон.

Добрый вечер! Уточните, пожалуйста, на каком основании

Сейчас клиента настаивает на выплате денег в полном объёме.