Что нужно сделать (куда, кому и как заявить), чтобы взять на себя его похороны?

Поскольку тело в  МОРГе, то Вам, в силу того, что Вы не родственник и никем умершему не приходитесь (мои соболезнования родственникам умершего и всем, кто его знал), тело могут выдать Вам. По сути как я понимаю Вы желаете быть лицом, взявшим ответственность по погребению умершего. В силу ст. 8 ФЗ

Супругу, близким родственникам, иным родственникам, законному представителю умершего или иному лицу, взявшему на себя обязанность осуществить погребение умершего, гарантируются:
1) выдача документов, необходимых для погребения умершего, в течение суток с момента установления причины смерти; в случаях, если для установления причины смерти возникли основания для помещения тела умершего в морг, выдача тела умершего по требованию супруга, близких родственников, иных родственников, законного представителя умершего или иного лица, взявшего на себя обязанность осуществить погребение умершего, не может быть задержана на срок более двух суток с момента установления причины смерти;

Также в силу ст. 2 Закона МО от 17 июля 2007 года N 115/2007-ОЗ «О погребении и похоронном деле в Московской области»

1. Супругу, близким родственникам, иным родственникам, законному представителю умершего или иному лицу, взявшему на себя обязанность осуществить погребение умершего, гарантируется оказание на безвозмездной основе следующего перечня услуг по погребению:

1) оформление свидетельства о смерти, справки о смерти, выдаваемых органами записи актов гражданского состояния (далее — органы ЗАГС);

2) предоставление и доставку в один адрес гроба и других предметов, необходимых для погребения, включая погрузо-разгрузочные работы;

3) перевозку тела (останков) умершего на автокатафалке от места нахождения тела (останков) до кладбища (в крематорий), включая перемещение до места захоронения (места кремации);

Местом для одиночного захоронения должны заниматься органы местного самоуправления, это их обязанность прежде всего, ст. 29 ФЗ «О погребении и похоронном деле» от 12.01.1996 N 8-ФЗ

1. Органы местного самоуправления создают специализированные службы по вопросам похоронного дела, на которые в соответствии с настоящим Федеральным законом возлагается обязанность по осуществлению погребения умерших.

В Электрогорске это МКУ «Ритуал» http://www.elgorsk-adm.ru/mku-... В силу ст. 11.1 Закона МО от 17 июля 2007 года N 115/2007-ОЗ «О погребении и похоронном деле в Московской области»

К заявлению о предоставлении места для одиночного захоронения прилагаются следующие документы:

1) оформленная в соответствии с законодательством Российской Федерации доверенность, подтверждающая полномочия представителя специализированной службы по вопросам похоронного дела на совершение действий, связанных с предоставлением места для одиночного захоронения;

Так что Вам надо обратиться в МКУ «Ритуал», чтобы проговорить все моменты и поскольку Вы желаете стать ответственным лицом, в МОРГе требовать выдачи тела и документов.

В связи с тем, что документов вообще нет никаких и на умершего также, я бы советовал обратиться в ритуал и обговорить с ними детали

Если умерший при жизни выражал пожелание в устной форме в присутствии свидетелей или в письменной форме о доверии Вам или иному лицу организовать его похороны и погребение, то такое лицо будет иметь приоритет по отношению к родственникам по организации погребения (МДК 11-01.2002 ritual.mos.ru/normativnyeakty/MDK11-01.2002.pdf)