Здравствуйте Елена!
Если есть возможность, обратитесь туда, где выдавался паспорт прививок (ветеринарную клинику), там должна сохраниться информация об оказанных услугах и кто вписан в паспорт, как владелец. Можно вызвать полицию, написать заявление. Навряд ли тому человеку захочется общаться с полицией или идти в суд. Если у Вас есть свидетели, которые могут подтвердить, что собака проживала вместе с Вами, то свидетельские показания в полиции и /или в суде будут иметь вес.
ГПК РФ Статья 55. Доказательства
1. Доказательствами по делу являются полученные в предусмотренном законом порядке сведения о фактах, на основе которых суд устанавливает наличие или отсутствие обстоятельств, обосновывающих требования и возражения сторон, а также иных обстоятельств, имеющих значение для правильного рассмотрения и разрешения дела.
Эти сведения могут быть получены из объяснений сторон и третьих лиц, показаний свидетелей, письменных и вещественных доказательств, аудио- и видеозаписей, заключений экспертов.
Объяснения сторон и третьих лиц, показания свидетелей могут быть получены путем использования систем видеоконференц-связи в порядке, установленном статьей 155.1 настоящего Кодекса.