Что в данной случае нужно сделать в правом порядке в отношении центра и педагога?

Здравствуйте. 

Согласно ст. 1068 ГК РФ

 1. Юридическое лицо либо гражданин возмещает вред, причиненный его работником при исполнении трудовых (служебных, должностных) обязанностей.

Вы можете обратиться в суд с исковым заявлением в отношении данного центра. 

Ответственность учебного заведения за травмы ребенка регулируются Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации. По этому закону, за здоровье несовершеннолетнего учащегося во время его нахождения на территории учебного заведения, несут работники данной организации. 

Статья 1087. Возмещение вреда при повреждении здоровья лица, не достигшего совершеннолетия

 1. В случае увечья или иного повреждения здоровья несовершеннолетнего, не достигшего четырнадцати лет (малолетнего) и не имеющего заработка (дохода), лицо, ответственное за причиненный вред, обязано возместить расходы, вызванные повреждением здоровья.

Травма полученная вашим ребёнком должна быть зафиксирована в медицинском учреждение. Оказаные услуги в мед.учреждении подлежат возмещению в соответствии с чеками, также возмещается моральный вред.

Педагог, если в случае его действий/бездействие вашему ребёнку был нанесён тяжкий вред может быть привлечён к уголовной ответственности за халатность по ст. 293 УК РФ.