Я подала на него в суд и суд назначил ДНК экспертизу о признании отцовства

Здравствуйте.Вы подавайте, предоставляйте доказательства расходов, суд рассмотрит

ГПК РФ Статья 98. Распределение судебных расходов между сторонами
 

1. Стороне, в пользу которой состоялось решение суда, суд присуждает возместить с другой стороны все понесенные по делу судебные расходы, за исключением случаев, предусмотренных частью второй статьи 96 настоящего Кодекса. В случае, если иск удовлетворен частично, указанные в настоящей статье судебные расходы присуждаются истцу пропорционально размеру удовлетворенных судом исковых требований, а ответчику пропорционально той части исковых требований, в которой истцу отказано.

Надеюсь, мой ответ поможет Вам разобраться в сложившейся ситуации.
Если Вы желаете получить более подробную юридическую консультацию по вашему вопросу,  то можете обращаться   в чат за получением персональной консультации.  Минимальные тарифы установлены правилами сайта.Также  при необходимости  составлю   документы в прокуратуру, суд, иные организации.
С уважением Алексей Александрович

Экспертиза ДНК это судебные расходы. И если экспертиза в вашу пользу, то конечно вы можете взыскать стоимость экспертизы с ответчика, подав соответствующее ходатайство в суд. С проездом сложнее вам нужно будет доказать что передвижение на ином транспорте не возможно (как вариант ребенок маленький до 7 лет не может ехать, не сидит на одном месте, укачивает), а также предоставить документы подтверждающие оплату такси или арендованного автомобиля.