Здравствуйте, Камал!
В силу части 4 статьи 18 Федерального закона от 15.11.1997 N 143-ФЗ «Об актах гражданского состояния», части 2 ст.58 Семейного кодекса РФ, отчество ребенка записывается по имени отца, если иное не основано на национальном обычае.
В Вашем случае написание отчества, основано на национальном обычае, поэтому отчество «Вугар кызы» не противоречит действующему законодательству.
Не совсем понятно, почему ЗАГС отказал в записи отчества, основанном на национальном обычае.
Статьей 69 ФЗ «Об актах гражданского состояния», предусмотрены основания для внесения исправлений и изменений в записи актов гражданского состояния, в том числе
решение суда;
Я бы рекомендовал написать совместное с женой заявление в ЗАГС на изменение отчества ребенка, а по получению отказа, обжаловать его в судебном порядке.
Подготовку документов для обращения в ЗАГС либо в суд, можете заказать в чате любому юристу сайта на платной основе либо разместив заказ в разделе документы.
Вы можете прикрепить к вопросу ответ ЗАГСА скрыв персональные данные, потому что не понятны основания отказа. Насчет иска я Вам выше объяснил, как можно заказать его составление. Кнопка общаться в чате находится в правом углу напротив имени юриста.