Добрый вечер, Елена.
«Прописать», а правильнее, зарегистрировать либо снять с регистрационного учета по доверенности нельзя.
В силу п. 90 Приказа МВД России от 31.12.2017 N 984 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации»
Основанием для начала административной процедуры является подача лично заявителем заявления о регистрации, снятии с регистрационного учета и прилагаемых документов, необходимых для предоставления государственной услуги, оформленных надлежащим образом:
на бумажном носителе ответственному лицу с представлением документов, предусмотренных пунктами 40, 41, 44 - 50 Административного регламента;
на бумажном носителе в орган регистрационного учета посредством почтового отправления, с представлением документов, предусмотренных пунктом 43 Административного регламента;
на бумажном носителе непосредственно в орган регистрационного учета с представлением документов, предусмотренных пунктом 51, подпунктом 53.1 пункта 53, подпунктом 54.1 пункта 54 Административного регламента;
в форме электронного документа с использованием Единого портала.
Таким образом, как вариант, можно направить заявление по почте либо через Единый портал.
Уточните: доверенность в простой письменной форме?
Можно, в силу прямого указания п. 90 Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации.