Говорят через кассу оплачивать и тогда будут принимать

Здравствуйте. 

Нет, не имеют. По сути, тот период, в который у Вас наличествует задолженность только по той причине, что техникум препятствует Вам в погашении Вашей задолженности, является просрочкой кредитора. 

406 статья Гражданского кодекса: 

Кредитор считается просрочившим, если он отказался принять предложенное должником надлежащее исполнение или не совершил действий, предусмотренных законом, иными правовыми актами или договором либо вытекающих из обычаев или из существа обязательства, до совершения которых должник не мог исполнить своего обязательства.

То есть Вам препятствуют в исполнении Вами Вашего обязательства. Судебная практика также подтверждает такую позицию. Действия технику можете обжаловать в Рособрнадзор, Прокуратуру. Либо обращаться в суд.

Удачи.