Добрый день, Геннадий!
Унаследовать имущество после смерти Вашей матери Вы сможете, даже если она будет находиться в интернате, поскольку Вы в любом случае будете являться наследником первой очереди по закону. (п. 1 ст. 1142 ГК РФ).
Что касается второй части Вашего вопроса, то после того как Вашу мать признают недееспособной, органы опеки должны будут назначить ей опекуна (ч. 5 ст. 11 Федеральный закон от 24.04.2008 N 48-ФЗ «Об опеке и попечительстве»).
После этого любые сделки от ее имени будут заключаться его опекуном (п. 2 ст. 29 ГК РФ), и только с предварительного согласия органа опеки и попечительства, как того требуют положения п. 2 ст. 37 ГК РФ.
При этом даже если орган опеки разрешит интернату заключить такой договор, все полученное по такому договору будет зачисляться на счет Вашей матери.
Вы же на получение дохода от сдачи в аренду такого имущества претендовать не можете.
Геннадий, я не говорил, что Вы не можете стать опекуном, сможете, если захотите, но