Здравствуйте, Анастасия! По вашей ситуации:
1. В соответствии с Приказом МВД России от 31.12.2017 N 984 «Об утверждении Административного регламента Министерства внутренних дел Российской Федерации по предоставлению государственной услуги по регистрационному учету граждан Российской Федерации по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации» для регистрации требуется согласие собственника.
2.Поэтому в вашем случае, для регистрации ваших родителей в квартире вашего мужа, требуется его согласие.То есть не доверенность, а именно согласие. И если он не будет лично присутствовать при подаче ими заявления на регистрацию, то такое согласие должно быть нотариально заверенным.
3.Поэтому вы действительно можете пригласить нотариуса на дом, ваш муж- оформить два нотариально заверенных согласия (отдельно на вашего отца и на маму), и вы эти документы перешлете им, и они лично самостоятельно смогут обратиться в МФЦ для регистрации.
Удачи Вам
А вот в моём случае потребовали ещё и присутствие представителя, так что я бы советовал перестраховаться.