Здравствуйте, могу ли я обратиться в осаго за выплатой по ДТП после суда, если виновник мне оплатил моральный вред здоровью?

Здравствуйте. Если вы не привлекали страховую компанию во время суда как соответчика, то уже не можете. Нужно было указывать страховую компанию соответчиком.

Здравствуйте, в данном случае вопросы морального ущерба регулируются отдельно  ОСАГО, ОСАГО страхует гражданскую ответственность виновника ДТП, а именно материальный ущерб. Если хотите, можно просто отдельным иском к виновнику обратиться с требованием о компенсации морального вреда.

ГК РФ Статья 151. Компенсация морального вреда
 

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.