Александр, добрый день!
Для придачи доказательству в виде переписки большую значимость лучше всего заверить её (а точнее составить протокол осмотра) у нотариуса, в этом случае судья будет иметь к такому доказательству больше доверия. Также, заверить переписку таким образом может адвокат или юрист.
Главное, чтобы у исполнителя был опыт составления подобных протоколов осмотра, так как такой протокол должен очень чётко всё описывать — и устройство, на котором находится переписка, и то какая стоит система, как вы заходите на сайт и открываете переписку и тд.