Или в ЗАГСЕ строго следуют закону и кодексу 59?

Мадина, здравствуйте. 

Порядок изменения имени зависит от возраста ребенка. Если ребенок не достиг возраста 14 лет, родители или один из них могут изменить ему имя на основании решения органа опеки и попечительства. При этом, если ребенку исполнилось 10 лет, это можно сделать только с его согласия. Если ребенок достиг возраста 14 лет, он вправе сам изменить свое имя, однако до достижения совершеннолетия для изменения имени ему потребуется согласие обоих родителей (усыновителей или попечителя) или решение суда, за исключением случаев приобретения им полной дееспособности до достижения совершеннолетия.

До 14 лет только по совместному заявлению можно изменить имя ребенка.

Мадина, если остались вопросы, пишите. рада буду помочь.