Может ли ребенок 14 лет отказаться от своей доли в квартире?

Для этого нужно будет получить разрешение органов опеки и попечительства.

ГК РФ Статья 37. Распоряжение имуществом подопечного
2. Опекун не вправе без предварительного разрешения органа опеки и попечительства совершать, а попечитель — давать согласие на совершение сделок по отчуждению, в том числе обмену или дарению имущества подопечного, сдаче его внаем (в аренду), в безвозмездное пользование или в залог, сделок, влекущих отказ от принадлежащих подопечному прав, раздел его имущества или выдел из него долей, а также любых других действий, влекущих уменьшение имущества подопечного.

При продаже квартиры, в которой есть доля несовершеннолетнего, ему гарантированно должна быть предоставлена такая же или большая по площади недвижимость, равная по благоустройству проданной.