Здравствуйте.
На самом деле ситуация не такая простая, как кажется на первый взгляд.
Согласно п. 3.1 ст. 84, п. 3 ст. 85 НК РФ снятие с учета в «старой» налоговой возможно только после постановки на учет в новой «налоговой», а новая налоговая поставит на учет только после получения сведений о регистранции по новому месту жительства.
Органы, осуществляющие регистрацию физических лиц по месту жительства (месту пребывания), обязаны сообщать только о фактах регистрации физического лица по месту жительства, но не по месту пребывания.
То есть в вашем случае налоговый орган не узнает о смене места жительства, потому что не будет осуществлена постановка на учет по месту жительства, а регистрация по месту пребывания не является основанием для сообщения соответствующих сведений налоговому органу.
Поэтому если вы выписались из старой квартиры и по каким-либо причинам не зарегистрировались по новому адресу (а это возможно), то так и будете числиться в своей старой налоговой.