Здравствуйте,
По российскому законодательству ребенок должен проживать с родителями или иными законными представителями. Но если отец не против, ребенок может проживать с бабушкой. Если против, тогда в силу ст. 68 Семейного кодекса отец может ребенка забрать.
Определение места жительства ребенка — это выбор родителя, с которым проживает ребенок, а не любого лица, с которым живет ребенок в т.ч. родственника (посмотрите п.3 ст. 65 Семейного кодекса). Права бабушки отличаются от прав родителей. Кроме того, к вам возникнут вопросы у органов опеки и КДНиЗП.
Установление опеки тоже невозможно, т.к. у ребенка два родителя, опека возможна временная по заявлению обоих родителей при наличии уважительных причин.
Поэтому мать без отца не может определить место жительства ребенка с бабушкой. Это возможно лишь по соглашению родителей и вам не гарантированы проблемы с контролирующими органами (например, иногда сообщают в них из школы/сада об отсутствии родительского попечения).
С уважением, Андрей Козырев