Что нам делать, чтобы оформить собственность в такой ситуации?

Добрый день

Если вы в данной квартире проживали, но без регистрации, то можно в суд обратиться и доказывать, что вы были вселены нанимателем в качестве членов семьи, жили вместе, зарегистрировать вас он не успел по какой то причине

ЖК РФ Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи
 

Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей

В противном случае — квартира отойдет муниципалитету

Если ваш отец подал заявление на приватизацию жилья (а приватизация жилья это довольно долгосрочный процесс который длятся несколько месяцев) и не смог дожить до окончания приватизации то это имущество входит в наследственную массу и делится между наследниками. а если он не подал заявление и не начал процесс приватизации то имущество не входит в наследственную массу и наследники его не получат. Такую позицию вынес верховный суд в своём постановлении. 

п. 8 постановления Пленума ВС РФ от 24 августа 1993 г. № 8 «О некоторых вопросах
применения судами Закона Российской Федерации «О приватизации жилищного фонда в Российской Федерации»». В редакции
Постановления Пленума ВС РФ от 6 февраля 2007 г. № 6