Здравствуйте,
Вопрос выезда ребенка на ПМЖ решается по нормам п.3 ст. 65 СК РФ. Вам нужно либо соглашение о месте жительства ребенка и согласие на выезд на ПМЖ, либо решения суда по этим вопросам, либо лишение отца родительских прав.
Если вы вывезете ребенка против воли отца, в нарушение прав опеки над ребенком, ребенок может быть возвращен в Россию по специальной процедуре по нормам международного права.
Однако по сути ответ на ваш вопрос зависит от позиции отца ребенка: общается ли он с ребенком и занимается его воспитанием и содержанием. будет ли он требовать возвращения ребенка.
Что касается документов, нужных для легализации проживания ребенка в Казахстане, это вопрос к казахским юристам.
Развод не имеет отношения к вопросу места жительства ребенка, это ваши отношения с мужем.
С уважением, Андрей Козырев