Что грозит мужу, если он женился на мне, не расторгнув брак в Азербайджане?

Здравствуйте. Такой брак в соответствии с семейный законодательством считается недействительным с момента его заключения. Вам необходимо обратиться в суд с исковым заявлением о признании брака недействительным.

СК РФ Статья 27. Признание брака недействительным

1. Брак признается недействительным при нарушении условий, установленных статьями 12 - 14 и пунктом 3 статьи 15 настоящего Кодекса, а также в случае заключения фиктивного брака, то есть если супруги или один из них зарегистрировали брак без намерения создать семью.
2. Признание брака недействительным производится судом.
3. Суд обязан в течение трех дней со дня вступления в законную силу решения суда о признании брака недействительным направить выписку из этого решения суда в орган записи актов гражданского состояния по месту государственной регистрации заключения брака.
4. Брак признается недействительным со дня его заключения (статья 10 настоящего Кодекса).

СК РФ Статья 14. Обстоятельства, препятствующие заключению брака

Не допускается заключение брака между:
лицами, из которых хотя бы одно лицо уже состоит в другом зарегистрированном браке;

А вот использование поддельной справки это уже преступление. 

УК РФ Статья 327. Подделка, изготовление или оборот поддельных документов, государственных наград, штампов, печатей или бланков

5. Использование заведомо подложного документа, за исключением случаев, предусмотренных частью третьей настоящей статьи, — наказывается штрафом в размере до восьмидесяти тысяч рублей или в размере заработной платы или иного дохода осужденного за период до шести месяцев, либо обязательными работами на срок до четырехсот восьмидесяти часов, либо исправительными работами на срок до двух лет, либо арестом на срок до шести месяцев.